梅森素数计算公式

3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M，P是梅森数的指数，M是P以下的梅森素数的个数。

以下是计算的数值与实际数的情况：

指数5，计算2.947，实际3 ，误差0.053；

指数7，计算3.764，实际4 ，误差 0.236；

指数13，计算4.891，实际5，误差0.109；

指数17，计算5.339，实际6，误差0.661；

指数19，计算5.766，实际7，误差1.234；

指数31，计算6.746，实际8，误差1.254；

指数61，计算8.445，实际9，误差0.555；

指数89，计算9.201，实际10，误差0.799；

指数107，计算9.697，实际11，误差1.303；

指数127，计算10.036 ，实际12，误差1.964；

指数521，计算13.818，实际13，误差-0.818；

指数607，计算14.259，实际14，误差-0.259；

指数1279，计算16.306，实际15，误差-1.306；

指数2203，计算17.573，实际16，误差-1.573；

指数2281，计算17.941，实际17，误差-0.941；

这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首，1被除外了，所以要减去1。在不考虑重叠问题，应该P减1就可以了，这里已考虑重叠问题，所以就P减1.2。在梅森数的指数渐渐增大，1.2是否合适，还要等实际检验。

所有的奇素数都是准梅森数（2^n-1）的因子数，则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。在2^n-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数n的数中，这个素数作为因子数在2^n-1数列中就以n为周期出现。在这种数列中指数是偶数的都等于3乘以四倍金字塔数。在2^n-1数列中，指数大于6的，除梅森素数外，都有新增一个或一个以上的素数为因子数，新增的因子数减1能被这个指数整除。

一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。一个是前面的梅森合数的因子数的素数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。所有梅森合数的因子数减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。一个素数在不是梅森合数的准梅森数中第一次以因子数出现，这个素数减1能被这个准梅森数的指数整除，商不一定是偶数。在指数n是无限多的2^n-1数列中梅森数和梅森素数只占其中的很少比例。

试证梅森素数

根据费马小定理，每一个奇素数都会以素因子出现在2^n-1数列中，只不过有些提前出现，有些最后出现。只有梅森素数是最早出现在这个数列中的。其他有素数都不会最早出现，最迟出现的素数是在本数减1的数中，也就是费马小定理的地方。

每一个奇素数都十分有规律作为因子数出现在2^n-1数列中，一个素数第一次出现在2^n-1数中（包括梅森素数），这个素数就以n为周期反复出现在2^n-1数列中，如3第一次出现在n=2中，指数能被2整除的都有3的因子数;7第一次出现在n=3，指数能被3整除的都有7的因子数;5第一次出现在n=4中,指数能被4整除都有5的因子数。一个素数出现在2^n-1数列n中，不管n是素数不是素数，只要用小于n的全部奇素数去筛，指数n都在其中。如果是合数与前面的素数是重叠的，所以不用重筛了。

要筛完2^n-1数列中所有数因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以内的所有素数去筛，这样剩下没有筛的就是梅森素数了。2^n-1的数列是无限多的，无限多的自然数任你筛多少次的几分之一，永远是无限多的，所以梅森素数是无限多的。