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Kirchhoff 矩阵-树定理 图的生成树集合的元素个数等于其中表示任意的主子式,即去掉第行第列后剩下的子式。
Kirchhoff 矩阵-树定理 图的生成树集合的元素个数等于
其中表示任意的主子式,即去掉第行第列后剩下的子式。
#R语言A1<-c(0,1,0,1,1,0,0,0)A2<-c(1,0,1,0,0,1,0,0)A3<-c(0,1,0,1,0,0,1,0)A4<-c(1,0,1,0,0,0,0,1)A5<-c(1,0,0,0,0,1,0,1)A6<-c(0,1,0,0,1,0,1,0)A7<-c(0,0,1,0,0,1,0,1)A8<-c(0,0,0,1,1,0,1,0)A<-c(A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8)A<-matrix(A,8,8,TRUE) #邻接矩阵A> A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8][1,] 0 1 0 1 1 0 0 0[2,] 1 0 1 0 0 1 0 0[3,] 0 1 0 1 0 0 1 0[4,] 1 0 1 0 0 0 0 1[5,] 1 0 0 0 0 1 0 1[6,] 0 1 0 0 1 0 1 0[7,] 0 0 1 0 0 1 0 1[8,] 0 0 0 1 1 0 1 0Lap <- diag(rep(3,8))-A #Laplace矩阵det(Lap[-8,][,-8]) #去掉第8行第8列,并求其行列式>[1] 384
!! 结论1 正方体的支撑树共有384个。
从左到右依次记为Rot1,Rot2,Rot3.
Burnside 引理 群作用在集合上,所形成的轨道数为:其中即在变换作用下保持不变的元素的集合。
Burnside 引理 群作用在集合上,所形成的轨道数为:
其中
即在变换作用下保持不变的元素的集合。
!! 结论2 拥有不变树的变换只有两种:1. 关于对棱中点连线旋转180度(Rot2);2. 关于过四条平行棱中点的平面的反射(Ref2).
!! 结论3 不考虑恒等变换,上面两种变换Rot2、Ref2的不变树中都有且仅有一条不动边,并且将这个边反转,即设,,则
空心圆圈表示下一个新边生长「发芽」之处
[1] Richard Goldstone and Robert Suzzi Valli(2016), unfoldings of the cube, arXiv:1604.05004 [math.GR].
[2] S.Axler, F.W. Gehring and K.A. Ribert, Algebraic Graph Theory.
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